Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.
Евклидова геометрия
Неравенство
- [math]\displaystyle{ AC \leqslant AB+BC, }[/math]
выполняется в любом треугольнике [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Причём равенство [math]\displaystyle{ AC = AB+BC }[/math] достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка [math]\displaystyle{ B }[/math] лежит строго между [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math].
Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
Нормированное пространство
Пусть [math]\displaystyle{ (X,\|\cdot\|) }[/math] — нормированное векторное пространство, где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math] — определённая на [math]\displaystyle{ X }[/math] норма. Тогда по определению последней справедливо:
- [math]\displaystyle{ \|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X. }[/math]
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.
Метрическое пространство
Пусть [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — метрическое пространство, где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — определённая на [math]\displaystyle{ X }[/math] метрика. Тогда по определению последней
- [math]\displaystyle{ \rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X. }[/math]
Вариации и обобщения
- [math]\displaystyle{ d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) ) }[/math] Сильное неравенство треугольника
Обратное неравенство треугольника
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
- [math]\displaystyle{ \bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X; }[/math]
- [math]\displaystyle{ | \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X. }[/math]
Неравенство треугольника для трёхгранного угла
Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Произвольное число точек
Обозначим [math]\displaystyle{ \rho(x_{i}, x_{j}) }[/math] расстояние между точками [math]\displaystyle{ x_{i} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{j} }[/math]. Тогда имеет место следующее неравенство: [math]\displaystyle{ \rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + ... + \rho(x_{m-1}, x_{m}) }[/math]. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: [math]\displaystyle{ \rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + \rho(x_{3}, x_{m}) \leqslant ... }[/math][1]
См. также
Примечания
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28